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Matemática 51
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
14.
Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función $f$. Dar la imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Graficar $f$.
e) $f(x)=4x(x-1)+1$
e) $f(x)=4x(x-1)+1$
Respuesta
Identifiquemos primero qué tipo de estructura de función cuadrática tenemos (polinómica, factorizada o canónica). No pareciera ser ninguna de ellas, pero podría reescribirla en su forma polinómica aplicando la propiedad distributiva: $f(x)=4x(x-1)+1$ = $f(x) = 4x^2-4x+1$.
Es polinómica: $f(x) = ax^2 +bx + c$, donde $a = 4$, $b = -4$ y $c = 1$.
El vértice de la función es $(Xv, Yv)$, donde $Xv = \frac{-b}{2a}$ y $Yv = f(Xv)$. Con $a = 4$ y $b = -4$, obtenemos $Xv = \frac{-(-4)}{2.4} = \frac{1}{2} $. Sustituyendo este valor en la función, encontramos $Yv = f(\frac{1}{2} ) = 4(\frac{1}{2} )^2 -4.\frac{1}{2} + 1 = 1$.
$V = (\frac{1}{2} , 1)$
La imagen de la función depende del signo de $a$ y del valor de $Yv$. Como $a>0$ la imagen tendrá la forma $[Yv, +\infty)$.
$\text{Im}f = [1, +\infty)$
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento dependen del signo de $a$ y del valor de $Xv$. Como $a > 0$, estos intervalos serán $I\uparrow = (Xv, +\infty)$ e $I\downarrow = (-\infty, Xv)$.
$I\uparrow = (\frac{1}{2} , +\infty)$
$I\downarrow = (-\infty, \frac{1}{2} )$
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